交流电路(1)：正弦交流电和相量

正弦交流电(Sinusoids)

正弦交流电是具有正弦或余弦函数形式的信号，用余弦来表示：

$$v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$$

• $V_m$ = 正弦交流电的振幅出
• $\omega$ = 角频率，单位为弧度/秒
• $\phi$ = 正弦交流电的相位

对于两个交流电$v_1(t) = V_m \sin(\omega t)$与$v_2(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$，$v_2(t)$图像相对于$v_1(t)$图像整体左移了$\phi$，我们称之为$v_2(t)$相位超前$\phi$，或者$v_1(t)$相位滞后$\phi$。

相量(Phasor)

正弦曲线很容易用相量表示，相量比正弦与余弦函数更方便使用。

1、复数与相量

在定义相量并将其应用于电路分析之前，我们需要彻底熟悉复数：

$$z = x + jy$$

其中$j = \sqrt{-1}$。复数有三种形式：

1. 矩形形式(Rectangular form)：$z = x + jy$
2. 极坐标形式(Polar form)：$z = r \angle \phi$
3. 指数形式(Exponential form)：$z = r e^{j \phi}$

相量(Phasor)表示法的基础是欧拉恒公式 ：

$$e^{j\phi} = \cos \phi + j \sin \phi$$

• $\cos \phi$是$e^{j\phi}$的实部：$\cos \phi = Re(e^{j\phi})$
• $\sin \phi$是$e^{j\phi}$的虚部：$\sin \phi = Im(e^{j\phi})$

对于正弦曲线 $v(t) = V_m cos(\omega t + \phi)$，用欧拉表达式来表示为：

$$v(t) = V_m cos(\omega t + \phi) = Re(V_m e^{j(\omega t + \phi)}) = Re(V_m e^{j \phi} e^{j\omega t}) = Re(\textbf{V} e^{j\omega t})$$

其中$\textbf{V}$为相量(Phasor)：

$$\textbf{V} = V_m e^{j \phi} = V_m \angle \phi$$

相量$\textbf{V}$表示了正弦交流电的幅度和相位的复数。 虽然相量中没有体现频率，在处理相量时，务必牢记相量的频率 ω； 否则我们会犯严重的错误。

2、正弦波与相量

如果要得到相量 $\textbf{V}$对应的正弦波，需要将相量乘以时间因子 $e^{j \omega t}$ 并取复数的实部。

$$\textbf{V} = V_m e^{j \phi} $$

$$v(t) = Re(\textbf{V} e^{j \omega t}) = Re(V_m e^{j \phi} e^{j \omega t} ) = V_m cos(\omega t + \phi)$$

如果要得到正弦波对应的相量，需要将正弦波表示为余弦形式，这样正弦波就可以写成复数的实部。 然后我们剔除时间因子$e^{j\omega t}$，剩下的就是正弦曲线对应的相量。通过剔除时间因素，我们将正弦波从时域变换到相量域。

电路元件的相量关系

我们知道如何在相量域中表示电压或电流，但如何将其应用于无源元件 R、L 和 C 的电路？接下来将每个元件的电压-电流关系从时域转换到相量域。

1、电阻器R

如果通过电阻器R的电流为： $i = I_m \cos(\omega t + \phi)$

则电容器两端的电压为：$v = iR = RI_m \cos(\omega t + \phi)$

电压相量为：$\textbf{V} = RI_m \angle \phi$

电流相量为：$\textbf{I} = I_m \angle \phi$

最后得到：

$$\frac{\textbf{V}}{\textbf{I}} = R$$

2、电容器C

如果通过电容的电压为： $v(t) = V_m \cos(\omega t + \phi)$

则电容器两端的电流为：$i = C \frac{\delta v}{\delta t} =  \omega C V_m \cos(\omega t + \phi + 90^{\degree})$

电压相量为：$\textbf{V} = V_m \angle \phi$

电流相量为：$\textbf{I} = \omega C V_m \angle \phi + 90^{\degree}$

最后得到：

$$\frac{\textbf{V}}{\textbf{I}} = \frac{1}{j\omega C}$$

3、电感器L

如果通过电感器L的电流为： $i = I_m \cos(\omega t + \phi)$

则电容器两端的电压为：$v = L \frac{\delta i}{\delta t} = \omega L I_m \cos(\omega t + \phi + 90^{\degree})$

电压相量为：$\textbf{V} = \omega L I_m \angle \phi + 90^{\degree}$

电流相量为：$\textbf{I} = I_m \angle \phi$

最后得到：

$$\frac{\textbf{V}}{\textbf{I}}= j\omega L$$

下表列出了时间域、相量域的电流-电流关系。

阻抗与导纳(Impedance and Admittance)

我们推导了R、C、L三个元件在相量域中电压-电流的关系：

$$\frac{\textbf{V}}{\textbf{I}} = R \ , \frac{\textbf{V}}{\textbf{I}} = \frac{1}{j\omega C} \ , \frac{\textbf{V}}{\textbf{I}} = j\omega L$$

根据三个表达式，我们定义了欧姆定律的相量形式：

$$ \textbf{Z} = \frac{\textbf{V}}{\textbf{I}}$$

其中\textbf{Z}是一个与频率相关的量，称为阻抗，以欧姆为单位测量。阻抗表示电路对正弦电流流动的反抗。 虽然阻抗是两个相量的比值，但是它不是相量，因为它不对应一个正弦变化的量。

相量域的基尔霍夫定律

直流电路基础中有介绍基尔霍夫定律(Kirchhoff’s Laws)。在交流电的情况下，基尔霍夫定律对于相量(Phasors)同样适用。

对于环路的KVL：

$$\textbf{V}_1 + \textbf{V}_2 + \cdots + \textbf{V}_n = 0$$

对于节点的KCL：

$$\textbf{I}_1 + \textbf{I}_2 + \cdots + \textbf{I}_n = 0$$

阻抗串联与并联

阻抗串联与并联与直流电路的电阻串联与并联一样。

对于串联电路：

$$\textbf{Z}_{eq} = \textbf{Z}_1 + \textbf{Z}_2 + \cdots + \textbf{Z}_N$$

对于并联电路：

$$\frac{1}{\textbf{Z}_{eq} } = \frac{1}{\textbf{Z}_1} + \frac{1}{\textbf{Z}_2 }  + \cdots \frac{1}{\textbf{Z}_N}$$