交流电路(3)：功率计算

瞬时功率和平均功率

1、瞬时功率(Instantaneous aPower)

元件的瞬时功率 $p(t)$ 是元件两端的瞬时电压 $v(t)$ 与通过它的瞬时电流 $i(t)$ 的乘积：

$$p(t) = v(t)i(t)$$

设电路两端的电压和电流为：

$$v(t) = V_m \cos(\omega t + \theta_v)$$

$$i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i)$$

其中 $V_m$ 和 $I_m$ 是振幅（或峰值），$θ_v$ 和 $θ_i$ 分别是电压和电流的相位角。 电路吸收的瞬时功率为:

$$p(t) = v(t)i(t) = V_m I_m \cos(\omega t + \theta_v) \cos(\omega t + \theta_i)$$

我们应用三角恒等式并得到瞬时功率$p(t)$：

$$p(t) = \frac{1}{2}V_mI_m \cos(\theta_v - \theta_i) + \frac{1}{2}V_mI_m\cos(2\omega t + \theta_v + \theta_i)$$

瞬时功率随时间变化，因此很难测量。实际应用中平均功率更方便，而且功率表测量的也是平均功率。

2、平均功率(Average Power)

平均功率，以瓦特为单位，是一个周期内瞬时功率的平均值。

$$P = \frac{1}{T} \int _0^T p(t)\delta t$$

代入瞬时功率$p(t)$进一步求解得到：

$$P = \frac{1}{2} V_m I_m \cos(\theta_v - \theta_i)$$

请注意瞬时功率 $p(t)$ 是随时间变化的，而 平均功率$P$ 不依赖于时间。 要计算瞬时功率，我们必须在时域中计算 $v(t)$ 和 $i(t)$的积。 若是计算平均功率，我们既可以计算电压和电流在时域的积分，也可以通过相量域的乘积。

$P$ 也可以通过相量 $V$ 和 $I$ 来计算：

$$P = \frac{1}{2} Re[\textbf{VI}^*] = \frac{1}{2} V_m I_m \cos(\theta_v - \theta_i)$$

有效值或均方根值(Effective or RMS Value)

交流电流的有效值是指向电阻器提供相同的平均功率的直流电流值；交流电压的有效值是指向电阻器提供相同的平均功率的直流电压值。如下图(a)是交流电路，下图(b)是换成有效值电流、电压的直流电路。

图(a)与图(b)的平均功率相等，即：

$$\frac{1}{T} \int_0^T i^2 R \delta t = I_{eff}^2 R$$

由此得到$I_{eff}$：

$$I_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^t i^2 \delta t}$$

右边的即为均方根值(Root mean square value)，即：

$$I_{eff} = I _{rms}$$

以同样的思路可以得到交流电压的有效值/圴方根值

$$V_{eff} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^t v^2 \delta t} = V_{rms}$$

对于正弦曲线 $i(t) = I_m \cos (ωt)$，有效值或 $rms$ 值为：

$$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^t I_m^2 \cos^2 {\omega t} \delta t} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$$

类似地，对于 $v(t)=V_m \cos \omega t$:

$$V_{rms}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$$

有了均方根值的概念，平均功率可以用 $rms$ 值表示：

$$P = \frac{1}{2} V_m I_m \cos(\theta_v - \theta_i) = V_{rms}I_{rms}\cos(\theta_v - \theta_i)$$

电力行业根据其均方根值而不是峰值指定相量幅度。 比如家家户户都有的110V就是电力公司的电压有效值。 在功率分析中，用均方根值表示电压和电流很方便。 此外，模拟电压表和电流表设计用于分别直接读取电压和电流的均方根值。

视在功率和功率因数(Apparent Power and Power Factor)